Exercício 30. Dada uma sequência de números reais {xn}, defina sua média aritmética σn como segue para todo n = 0, 1, . . . σn = x0 + x1 + . . .+ x...

a) Para mostrar que limn→∞ σn = x, podemos usar a definição de limite. Se limn→∞ xn = x, então para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que, para todo n > N, |xn - x| < ε. Podemos reescrever σn como σn = (x0 + x1 + ... + xn-1)/n + xn/n+1. Podemos separar a soma em duas partes: (x0 + x1 + ... + xn-1)/n e xn/n+1. A primeira parte é a média aritmética dos primeiros n termos da sequência, que denotamos por mn. Então, podemos escrever σn como σn = mn + xn/n+1. Podemos reescrever a expressão |σn - x| como |mn - x + xn/n+1 - x| = |mn - x| + |xn/n+1 - x|. Como limn→∞ xn = x, podemos escolher ε de tal forma que |xn/n+1 - x| < ε/2 para todo n > N. Além disso, como limn→∞ mn = x, podemos escolher ε de tal forma que |mn - x| < ε/2 para todo n > N. Então, para todo n > N, temos |σn - x| < ε/2 + ε/2 = ε. Portanto, limn→∞ σn = x. b) Podemos construir uma sequência {xn} que não converge mas que limn→∞ σn = 0 da seguinte forma: xn = (-1)n/n. Observe que limn→∞ xn = 0. No entanto, a sequência {xn} não converge, pois oscila entre valores positivos e negativos. Para mostrar que limn→∞ σn = 0, podemos usar a definição de limite. Para qualquer ε > 0, podemos escolher N de tal forma que 1/N < ε. Então, para todo n > N, temos |σn - 0| = |x0 + x1 + ... + xn-1/n+1| = |(-1)^0/1 + (-1)^1/2 + ... + (-1)^(n-1)/n|/n+1 < 1/n+1 < ε. Portanto, limn→∞ σn = 0.