Exercício 16. Progressão Aritmética Uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo a e razão r é uma sequência de números cujo primeiro termo é...
Uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo a e razão r é uma sequência de números cujo primeiro termo é a e tal que, cada elemento, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com a razão.
Em símbolos: a1 = a e an = an−1 + r, se n > 2.
(a) Conjecture uma fórmula para o termo geral an em função de a, n e r. Em seguida, prove-a por indução em n.
(b) Se Sn = a1 + a2 + · · ·+ an, conjecture uma fórmula para Sn em função de a, n e r. Em seguida, prove-a por indução em n.
(c) A partir do item (b), obtenha uma fórmula para Sn em função a, an e r.
(a) Conjecturar uma fórmula para o termo geral an em função de a, n e r. Em seguida, prová-la por indução em n.
(b) Conjecturar uma fórmula para Sn em função de a, n e r. Em seguida, prová-la por indução em n.
(c) A partir do item (b), obter uma fórmula para Sn em função a, an e r.
Fórmula para o termo geral an em função de a, n e r.
Fórmula para Sn em função de a, n e r.
Fórmula para Sn em função a, an e r.
💡 1 Resposta
Ed 
Para uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo a e razão r, a fórmula para o termo geral an em função de a, n e r é: an = a + (n-1)r Para provar essa fórmula por indução em n, é necessário mostrar que ela é verdadeira para n = 1 e que, se ela é verdadeira para n = k, então ela também é verdadeira para n = k + 1. Para o caso n = 1, temos: a1 = a + (1-1)r a1 = a Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k. Ou seja: ak = a + (k-1)r Queremos mostrar que ela também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja: ak+1 = a + kr Para isso, podemos usar a definição de PA: ak+1 = ak + r Substituindo ak pela fórmula que supomos ser verdadeira para n = k, temos: ak+1 = a + (k-1)r + r ak+1 = a + kr Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1. Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo n. A fórmula para Sn em função de a, n e r é: Sn = (a1 + an)n/2 Para provar essa fórmula por indução em n, é necessário mostrar que ela é verdadeira para n = 1 e que, se ela é verdadeira para n = k, então ela também é verdadeira para n = k + 1. Para o caso n = 1, temos: S1 = (a1 + a1)1/2 S1 = a1 Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k. Ou seja: Sk = (a1 + ak)k/2 Queremos mostrar que ela também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja: Sk+1 = (a1 + ak+1)(k+1)/2 Para isso, podemos usar a definição de PA: ak+1 = ak + r Substituindo ak+1 na fórmula para Sk+1, temos: Sk+1 = (a1 + ak + r)(k+1)/2 Sk+1 = (a1 + ak)k/2 + r(k+1)/2 Sk+1 = Sk + r(k+1)/2 Substituindo a fórmula para Sk, temos: Sk+1 = (a1 + ak)k/2 + r(k+1)/2 Sk+1 = (2Sk - a1k)/2 + r(k+1)/2 Sk+1 = Sk + (a1 + kr)/2 Substituindo a fórmula para ak, temos: Sk+1 = Sk + (a + (k-1)r + r)/2 Sk+1 = Sk + (a + kr)/2 Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1. Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo n. A fórmula para Sn em função de a, an e r é: Sn = (a + an)n/2
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