Seja f : [a, b] → [a, b] uma função contínua em todo intervalo [a, b] e diferenciável em (a, b), com |f ′(x)| ≤ α < 1 para todo x ∈ (a, b). Mostre ...

Pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que f([a, b]) é um intervalo fechado e limitado contido em [a, b]. Além disso, como f é contínua em [a, b], f([a, b]) também é um intervalo fechado e limitado em [a, b]. Portanto, existe um ponto c ∈ [a, b] tal que f(c) = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Suponha que existam dois pontos fixos distintos c e d em [a, b]. Sem perda de generalidade, suponha que f(c) = c e f(d) = d. Pela regra do valor médio, existe um ponto e ∈ (c, d) tal que: |f(c) - f(d)| / |c - d| = |f'(e)| ≤ α < 1 Mas isso implica que |c - d| ≤ α|c - d|, o que é uma contradição, já que α < 1. Portanto, f tem no máximo um ponto fixo em [a, b]. Como já mostramos que f tem pelo menos um ponto fixo em [a, b], concluímos que f tem exatamente um ponto fixo em [a, b].