Um cilindro maciço de 10,4 cm e massa 11,8 kg parte do repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado de uma casa, que é...

(a) Para encontrar a velocidade angular do cilindro em torno de seu eixo, podemos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica inicial é igual a energia mecânica final. A energia mecânica inicial é igual a energia potencial gravitacional do cilindro no topo do telhado, que é mgh, onde m é a massa do cilindro, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do telhado. A energia mecânica final é igual a energia cinética do cilindro no momento em que ele deixa o telhado, que é igual a (1/2)Iw^2, onde I é o momento de inércia do cilindro em torno de seu eixo e w é a velocidade angular do cilindro em torno de seu eixo. Como o cilindro rola sem deslizar, podemos usar a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular, que é v = rw, onde r é o raio do cilindro. Substituindo as equações, temos: mgh = (1/2)Iw^2 + (1/2)mv^2 Como o cilindro rola sem deslizar, podemos usar a relação entre o momento de inércia e a massa e o raio do cilindro, que é I = (1/2)mr^2. Substituindo a equação, temos: mgh = (1/4)mr^2w^2 + (1/2)mv^2 Podemos isolar a velocidade angular w e obter: w = sqrt((4gh)/(3r^2)) Substituindo os valores, temos: w = sqrt((4 x 9,81 x 6,12 x cos(27o))/(3 x (10,4/2)^2)) = 5,08 rad/s (b) Para encontrar a distância da parede onde o cilindro tocará o solo, podemos usar a equação da conservação da energia mecânica novamente. A energia mecânica inicial é igual a energia mecânica final. A energia mecânica inicial é igual a energia potencial gravitacional do cilindro no topo do telhado, que é mgh, onde m é a massa do cilindro, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do telhado. A energia mecânica final é igual a energia cinética do cilindro no momento em que ele toca o solo, que é igual a (1/2)mv^2, onde v é a velocidade linear do cilindro no momento em que ele toca o solo. Como o cilindro rola sem deslizar, podemos usar a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular, que é v = rw, onde r é o raio do cilindro. Substituindo as equações, temos: mgh = (1/2)mv^2 Podemos isolar a velocidade linear v e obter: v = sqrt(2gh) Substituindo os valores, temos: v = sqrt(2 x 9,81 x 6,12 x cos(27o)) = 12,08 m/s Para encontrar a distância da parede onde o cilindro tocará o solo, podemos usar a equação da cinemática do movimento uniformemente acelerado, que é s = vt + (1/2)at^2, onde s é a distância percorrida, v é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo. Como o cilindro parte do repouso, a velocidade inicial é zero. A aceleração é igual a aceleração da gravidade, que é g. O tempo que o cilindro leva para tocar o solo é igual ao tempo que ele leva para percorrer a distância vertical do telhado até o solo, que é igual a h/sin(27o). Substituindo as equações, temos: s = 0 + (1/2)g(h/sin(27o))^2 Podemos isolar a distância s e obter: s = (1/2)g(h/sin(27o))^2 Substituindo os valores, temos: s = (1/2) x 9,81 x (5,16/sin(27o))^2 = 22,67 m Portanto, a distância da parede onde o cilindro tocará o solo é de aproximadamente 22,67 metros.