Considere os seguintes subespaços: U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 3x-2y+z = 0} w = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 2x+y-4z = 0} a) Determine uma base para U ∩ W e uma bas...

Para determinar uma base para U ∩ W, precisamos encontrar os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos subespaços: 3x - 2y + z = 0 2x + y - 4z = 0 Podemos resolver esse sistema utilizando o método da eliminação: 1) Multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda equação: 6x - 4y + 2z = 0 2x + y - 4z = 0 _______________ 8x - 3y - 2z = 0 2) Multiplicar a primeira equação por 3 e somar com a terceira equação: 9x - 6y + 3z = 0 2x + y - 4z = 0 _______________ 11x - 5y - z = 0 Agora temos um sistema com duas equações e três incógnitas. Podemos escolher uma das incógnitas (por exemplo, z) e escrevê-la em função das outras duas: z = 11x/5 - 5y/5 Podemos escolher valores para x e y e calcular o valor de z. Por exemplo, se escolhermos x = 5 e y = 0, temos: z = 11(5)/5 - 5(0)/5 = 11 Portanto, um vetor que pertence a U ∩ W é (5, 0, 11). Podemos escolher outros valores para x e y e obter outros vetores que pertencem a U ∩ W. Para encontrar uma base para U + W, podemos utilizar o fato de que a dimensão da soma de dois subespaços é dada pela soma das dimensões menos a dimensão da interseção. Como U e W são subespaços de ℝ3, têm dimensão 2. Já vimos que a interseção U ∩ W tem dimensão 1. Portanto, a soma U + W tem dimensão 3. Para encontrar uma base para U + W, podemos escolher uma base para U e uma base para W e juntá-las. Uma base para U é dada por um vetor que não pertence ao plano 3x - 2y + z = 0. Podemos escolher, por exemplo, o vetor (1, 0, 3). Uma base para W é dada por um vetor que não pertence ao plano 2x + y - 4z = 0. Podemos escolher, por exemplo, o vetor (0, 1, 2). Juntando esses vetores, temos uma base para U + W: {(1, 0, 3), (0, 1, 2), (5, 0, 11)}