Considere os seguintes subespaços: U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 3x-2y+z = 0} w = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 2x+y-4z = 0} a) Determine uma base para U ∩ W e uma base para U + W

Question

Considere os seguintes subespaços: U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 3x-2y+z = 0} w = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / 2x+y-4z = 0} a)	Determine uma base para U ∩ W e uma bas...

Ed · Answer

Para resolver a questão, vamos determinar uma base para a interseção $ U \cap W $ e uma base para a soma $ U + W $.

1. **Encontrar uma base para $ U $**:
   O subespaço $ U $ é definido pela equação $ 3x - 2y + z = 0 $. Podemos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $:
   $$
   z = -3x + 2y
   $$
   Assim, um vetor genérico em $ U $ pode ser escrito como:
   $$
   (x, y, -3x + 2y) = x(1, 0, -3) + y(0, 1, 2)
   $$
   Portanto, uma base para $ U $ é:
   $$
   \{(1, 0, -3), (0, 1, 2)\}
   $$

2. **Encontrar uma base para $ W $**:
   O subespaço $ W $ é definido pela equação $ 2x + y - 4z = 0 $. Podemos expressar $ y $ em termos de $ x $ e $ z $:
   $$
   y = -2x + 4z
   $$
   Assim, um vetor genérico em $ W $ pode ser escrito como:
   $$
   (x, -2x + 4z, z) = x(1, -2, 0) + z(0, 4, 1)
   $$
   Portanto, uma base para $ W $ é:
   $$
   \{(1, -2, 0), (0, 4, 1)\}
   $$

3. **Encontrar a interseção $ U \cap W $**:
   Para encontrar $ U \cap W $, precisamos resolver o sistema de equações:
   $$
   \begin{cases}
   3x - 2y + z = 0 \
   2x + y - 4z = 0
   \end{cases}
   $$
   Substituindo $ z = -3x + 2y $ na segunda equação:
   $$
   2x + y - 4(-3x + 2y) = 0 \
   2x + y + 12x - 8y = 0 \
   14x - 7y = 0 \
   y = 2x
   $$
   Substituindo $ y = 2x $ na primeira equação:
   $$
   3x - 2(2x) + z = 0 \
   3x - 4x + z = 0 \
   z = x
   $$
   Portanto, temos $ x = x $, $ y = 2x $, $ z = x $. Um vetor genérico em $ U \cap W $ é:
   $$
   (x, 2x, x) = x(1, 2, 1)
   $$
   Assim, uma base para $ U \cap W $ é:
   $$
   \{(1, 2, 1)\}
   $$

4. **Encontrar a soma $ U + W $**:
   A soma $ U + W $ é gerada pelos vetores de $ U $ e $ W $. Portanto, a base para $ U + W $ é dada pelos vetores:
   $$
   \{(1, 0, -3), (0, 1, 2), (1, -2, 0), (0, 4, 1)\}
   $$
   Precisamos verificar a linearidade e, se necessário, simplificar. Após verificar, podemos encontrar que a base para $ U + W $ pode ser reduzida a:
   $$
   \{(1, 0, -3), (0, 1, 2), (1, -2, 0)\}
   $$

Resumindo:
- Base para $ U $: $\{(1, 0, -3), (0, 1, 2)\}$
- Base para $ W $: $\{(1, -2, 0), (0, 4, 1)\}$
- Base para $ U \cap W $: $\{(1, 2, 1)\}$
- Base para $ U + W $: $\{(1, 0, -3), (0, 1, 2), (1, -2, 0)\}$ (ou simplificada conforme necessário).

Ed · Answer

Para determinar uma base para U ∩ W, precisamos encontrar os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos subespaços:

3x - 2y + z = 0
2x + y - 4z = 0

Podemos resolver esse sistema utilizando o método da eliminação:

1) Multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda equação:

6x - 4y + 2z = 0
2x + y - 4z = 0
_______________
8x - 3y - 2z = 0

2) Multiplicar a primeira equação por 3 e somar com a terceira equação:

9x - 6y + 3z = 0
2x + y - 4z = 0
_______________
11x - 5y - z = 0

Agora temos um sistema com duas equações e três incógnitas. Podemos escolher uma das incógnitas (por exemplo, z) e escrevê-la em função das outras duas:

z = 11x/5 - 5y/5

Podemos escolher valores para x e y e calcular o valor de z. Por exemplo, se escolhermos x = 5 e y = 0, temos:

z = 11(5)/5 - 5(0)/5 = 11

Portanto, um vetor que pertence a U ∩ W é (5, 0, 11). Podemos escolher outros valores para x e y e obter outros vetores que pertencem a U ∩ W.

Para encontrar uma base para U + W, podemos utilizar o fato de que a dimensão da soma de dois subespaços é dada pela soma das dimensões menos a dimensão da interseção. Como U e W são subespaços de ℝ3, têm dimensão 2. Já vimos que a interseção U ∩ W tem dimensão 1. Portanto, a soma U + W tem dimensão 3.

Para encontrar uma base para U + W, podemos escolher uma base para U e uma base para W e juntá-las. Uma base para U é dada por um vetor que não pertence ao plano 3x - 2y + z = 0. Podemos escolher, por exemplo, o vetor (1, 0, 3). Uma base para W é dada por um vetor que não pertence ao plano 2x + y - 4z = 0. Podemos escolher, por exemplo, o vetor (0, 1, 2).

Juntando esses vetores, temos uma base para U + W:

{(1, 0, 3), (0, 1, 2), (5, 0, 11)}

Álgebra Linear

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