Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade volumétrica ...

Para determinar a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, com densidade volumétrica de massa δ(x, y, z) = 6(x² + y² + z²), definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, podemos utilizar a fórmula: x_cm = (1/M) ∫∫∫ x δ(x, y, z) dV Onde M é a massa total do sólido e dV é o elemento de volume. Para calcular a massa total do sólido, podemos integrar a densidade volumétrica de massa em todo o volume do cubo: M = ∫∫∫ δ(x, y, z) dV = ∫∫∫ 6(x² + y² + z²) dV M = 6 ∫∫∫ (x² + y² + z²) dV M = 6 ∫0¹ ∫0¹ ∫0¹ (x² + y² + z²) dxdydz M = 6 ∫0¹ ∫0¹ [(x³/3) + y²z + (z³/3)]dydz M = 6 ∫0¹ [(x⁴/12) + (y²z)y + (z³/3)y]dy M = 6 [(x⁴/12) + (z³/3)] ∫0¹ dy M = 6 [(x⁴/12) + (z³/3)] M = 6 [(1/12) + (1/3)] M = 1 Agora podemos calcular a abscissa do centro de massa: x_cm = (1/M) ∫∫∫ x δ(x, y, z) dV x_cm = (1/1) ∫∫∫ x 6(x² + y² + z²) dV x_cm = 6 ∫0¹ ∫0¹ ∫0¹ x(x² + y² + z²) dxdydz x_cm = 6 ∫0¹ ∫0¹ [(x⁴/4) + (y²zx²/2) + (z²x²/2)]dydz x_cm = 6 ∫0¹ [(x⁴/4) + (z²x²/2)] ∫0¹ dydz x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ ∫0¹ x⁴ dydz + (1/2) ∫0¹ ∫0¹ z²x² dydz] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ [(∫0¹ dy) (∫0¹ dz)] + (1/2) ∫0¹ z² [(∫0¹ x² dy) (∫0¹ dz)]] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ dydz + (1/2) ∫0¹ z² [(x²/2) (∫0¹ dz)]] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ dydz + (1/4) ∫0¹ z²x² dz] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ ∫0¹ x⁴ dydz + (1/4) ∫0¹ z² [(1/3) (∫0¹ 1 dx)]] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ ∫0¹ x⁴ dydz + (1/12) ∫0¹ z² dz] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ [(∫0¹ x⁴ dy) (∫0¹ dz)] + (1/12) ∫0¹ z² dz] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ [(∫0¹ dy) (∫0¹ dz)] + (1/12) [(z³/3)] ∫0¹ dz] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ dydz + (1/12) [(1/3) (∫0¹ z³ dz)]] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ x⁴ dydz + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ [(∫0¹ z² dy) (∫0¹ x² dz)] + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ [(y²/3) (∫0¹ x² dz)] + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ [(y²/3) (x²)]dy + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) ∫0¹ [(y²x²/3)]dy + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) [(1/3) (∫0¹ x⁴ dx)] + (1/36)] x_cm = 6 [(1/4) [(1/3) (1/5)] + (1/36)] x_cm = 6 [(1/60) + (1/36)] x_cm = 6 [(3/180) + (5/180)] x_cm = 6 (8/180) x_cm = 8/30 x_cm = 4/15 Portanto, a abscissa do centro de massa do sólido é 4/15.

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