3) Prove that supA+ supB = sup(A+B). a) supA ≥ a, for all a ∈ A and supB ≥ b, for all b ∈ B. b) supA+ supB ≥ a+ b for all a ∈ A, b ∈ B. c) supA+ s...
a) supA ≥ a, for all a ∈ A and supB ≥ b, for all b ∈ B.
b) supA+ supB ≥ a+ b for all a ∈ A, b ∈ B.
c) supA+ supB is an upper bound for the set A+B.
d) Given ε > 0, there are a ∈ A and b ∈ B such that sup(A)− ε < a ≤ sup(A) and sup(B)− ε < b ≤ sup(B).
e) sup(A) + sup(B)− 2ε < a+ b ≤ sup(A) + sup(B).
f) By the alternative definition of supremum, it follows that supA+ supB = sup(A+B).
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💡 1 Resposta
Ed 
Para provar que supA + supB = sup(A+B), podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, vamos mostrar que supA + supB é um limite superior para A+B. Para isso, seja x um elemento de A+B. Então, existem a ∈ A e b ∈ B tais que x = a + b. Como supA é um limite superior para A e supB é um limite superior para B, temos que a ≤ supA e b ≤ supB. Portanto, x = a + b ≤ supA + supB. Como x é arbitrário, concluímos que supA + supB é um limite superior para A+B. 2. Agora, vamos mostrar que supA + supB é o menor limite superior para A+B. Para isso, seja ε > 0. Pela definição de supremo, existem a' ∈ A e b' ∈ B tais que supA - ε/2 < a' ≤ supA e supB - ε/2 < b' ≤ supB. Então, temos que a' + b' ∈ A+B e: supA + supB - ε = (supA - ε/2) + (supB - ε/2) < a' + b' ≤ supA + supB Como ε é arbitrário, concluímos que supA + supB é o menor limite superior para A+B. Portanto, supA + supB = sup(A+B).
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