O valor de log2(1/n! * ∏(i=2 até n) i^(i-1)) é: a) n^2 b) 2n c) n d) 2log2n e) log2n

Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando as propriedades dos logaritmos. Temos: log2(1/n! * ∏(i=2 até n) i^(i-1)) = log2(1/n!) + log2(∏(i=2 até n) i^(i-1)) Agora, podemos usar a propriedade logaritmo de produto para separar o segundo termo em uma soma de logaritmos: log2(1/n!) + log2(∏(i=2 até n) i^(i-1)) = log2(1/n!) + ∑(i=2 até n) log2(i^(i-1)) Podemos usar a propriedade logaritmo de potência para simplificar o segundo termo: log2(1/n!) + ∑(i=2 até n) log2(i^(i-1)) = log2(1/n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) Agora, podemos usar a propriedade logaritmo de quociente para separar o primeiro termo em uma diferença de logaritmos: log2(1/n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) = log2(1) - log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) Podemos usar a propriedade logaritmo de produto novamente para simplificar o segundo termo: log2(1) - log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) Agora, podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o segundo termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i-1)log2(i) = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)log2(i^(i-1)/i^(i-1))] Podemos usar a propriedade logaritmo de quociente novamente para separar o segundo termo em uma diferença de logaritmos: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)log2(i^(i-1)/i^(i-1))] = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)log2(i^(i-1)) - (i-1)log2(i)] Podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o primeiro termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)log2(i^(i-1)) - (i-1)log2(i)] = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)(i-1)log2(i) - (i-1)log2(i)] Podemos usar a propriedade distributiva para simplificar o segundo termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)(i-1)log2(i) - (i-1)log2(i)] = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)(i-2)log2(i)] Agora, podemos usar a propriedade logaritmo de produto novamente para simplificar o segundo termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i-1)(i-2)log2(i)] = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i^2 - 3i + 2)log2(i)] Podemos usar a propriedade distributiva novamente para simplificar o segundo termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) [(i^2 - 3i + 2)log2(i)] = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i^2log2(i) - 3ilog2(i) + 2log2(i)) Agora, podemos usar a propriedade soma de termos para separar o segundo termo em uma soma de três somas: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) (i^2log2(i) - 3ilog2(i) + 2log2(i)) = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - ∑(i=2 até n) 3ilog2(i) + ∑(i=2 até n) 2log2(i) Podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o primeiro termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - ∑(i=2 até n) 3ilog2(i) + ∑(i=2 até n) 2log2(i) = -log2(n!) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - 3i(log2(i)) + 2(n-1) Agora, podemos usar a aproximação de Stirling para simplificar o primeiro termo: -log2(n!) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - 3i(log2(i)) + 2(n-1) ≈ -nlog2(n) + nlog2(e) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - 3i(log2(i)) + 2(n-1) Podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o segundo termo: -nlog2(n) + nlog2(e) + ∑(i=2 até n) i^2log2(i) - 3i(log2(i)) + 2(n-1) = -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) log2(i^i^2) - 3∑(i=2 até n) log2(i^i) + 2(n-1) Podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o segundo termo: -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) log2(i^i^2) - 3∑(i=2 até n) log2(i^i) + 2(n-1) = -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) i^2log2(i^i) - 3∑(i=2 até n) ilog2(i) + 2(n-1) Podemos usar a propriedade logaritmo de potência novamente para simplificar o primeiro termo: -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) i^2log2(i^i) - 3∑(i=2 até n) ilog2(i) + 2(n-1) = -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) i^3log2(i) - 3∑(i=2 até n) ilog2(i) + 2(n-1)log2(2) Agora, podemos usar a aproximação de Stirling novamente para simplificar o primeiro termo: -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) i^3log2(i) - 3∑(i=2 até n) ilog2(i) + 2(n-1)log2(2) ≈ -nlog2(n) + n + ∑(i=2 até n) i^3log2(i) - 3i(log2(i)) + 2(n-1) Portanto, a resposta correta é a letra E) log2(n).