Lista 2 (Funções)

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MAT0103 - Complementos de Matemáticapara Contabilidade e
Administração
Lista 2: Funções
Professor: Paolo Piccione
Monitor: Flávio da Silva e Samantha Pedroso
20 de março de 2024
1 Funções: Parte 2
Definição 1.1. Se f : A → B é uma função, dizemos que:
• A é o domínio de f , e escrevemos A = Domf ;
• B é o contradomínio de f e definimos
Imf = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.
como sendo a imagem de f .
Questão 1. Mostre que, se f e g são funções, então f = g se, e somente se, Domf = Domg e f(x) = g(x)
para todo x ∈ Domf .
Definição 1.2. Se f : A −→ B é uma função e C ⊆ A, definimos a restrição de f a C como sendo a função
f |C = {(x, y) ∈ f : x ∈ C}.
Definição 1.3. Uma função f é inversível se a relação inversa f−1 também é uma função. Nesse caso,
dizemos que f−1 é a função inversa de f .
Definição 1.4. Uma função f : A −→ B é dita:
• sobrejetora, se Imf = B;
• injetora se f(a) = f(b) implica a = b para quaisquer a, b ∈ A e
• bijetora se f é injetora e sobrejetora.
Questão 2. Mostre que:
a) uma função f : A −→ B é inversível se, e somente se, f é bijetora;
b) se f : A −→ B é bijetora, então f−1 : B −→ A também é bijetora.
Definição 1.5. Se f : A =⇒ B e g : C −→ D são funções tais que Imf ⊆ Domg, definimos a função
composta g ◦ f : A −→ D por: (g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ A.
Definição 1.6. Denotamos por idA a função identidade definida no conjunto A, ou seja, é a função
idA : A −→ A definida por: idA(x) = x, para todo x ∈ A.
Questão 3. Seja f : A −→ B uma função bijetora. Então:
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(i) f−1 ◦ f = idA;
(ii) f ◦ f−1 = idB .
Questão 4. Seja f uma função e suponha que existam funções g e h tais que g◦f = idDomf
e f ◦h = idImf
.
Mostre que f é inversível e que f−1 = g = h.
Questão 5. Sejam f : A −→ B e g : B −→ C funções. Mostre que:
a) Se f e g são sobrejetoras, então g ◦ f também é sobrejetora;
b) Se f e g são injetoras, então g ◦ f também é injetora.
Definição 1.7. Sejam f : A ⇐⇒ B uma função, X ⊆ A e Y ⊆ B. Dizemos que: f(X) = {f(x) ∈ B : x ∈
X} é a imagem do conjunto X por f ,f−1(Y ) = {x ∈ A : f(x) ∈ Y } é a pré-imagem (ou imagem inversa) do
conjunto Y por f . É muito frequente, também, o uso de colchetes ao invés de parênteses para denotar estes
conjuntos. Assim, f [X] = f(X) e f−1[Y ] = f−1(Y ).
Questão 6. Sejam f : A =⇒ B uma função, C ⊆ A e D ⊆ B. Mostre que:
a) C ⊆ f−1(f(C)).
b) Se f é injetora, então f−1(f(C)) = C. Dê um exemplo mostrando que a igualdade não vale sempre.
c) f(f−1(D)) ⊆ D.
d) Se f é sobrejetora, então f(f−1(D)) = D. Dê um exemplo mostrando que a igualdade não vale sempre.
Questão 7. Sejam f : A −→ B uma função e C1 e C2 subconjuntos de A. Mostre que:
a) f(C1 ∪ C2) = f(C1) ∪ f(C2);
b) f(C1 ∩ C2)f(C1) ∩ f(C2);
c) Se f é injetora, então f(C1 ∩ C2) = f(C1) ∩ f(C2). Dê um exemplo mostrando que a igualdade não
vale sempre
Questão 8. Sejam f : A −→ B uma função e C ⊆ A. Responda, com justificativa, às seguintes questões:
a) Vale que f(A \ C) ⊆ f(A) \ f(C)?
b) Vale que f(A) \ f(C) ⊆ f(A \ C)?
c) Qual condição podemos colocar em f para termos que f(A \ C) = f(A) \ f(C)?
Questão 9. Sejam f : A −→ B uma função e Y1 e Y2 subconjuntos de B. Mostre que:
a) f−1(Y1 ∩ Y2) = f−1(Y1) ∩ f−1(Y2);
b) f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2);
c) f−1(Y1 \ Y2) = f−1(Y1) \ f−1(Y2).
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	Funções: Parte 2