38) (Itajubá-0) Calcular o valor de m de modo que 9/(1).(2m5. 3. 1. m!. .2(2m)!m) = 1 + 1/2 + ... + 1/2m.

Para resolver essa questão, é necessário utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica: S = a(1 - q^n) / (1 - q) Onde: - S é a soma dos termos; - a é o primeiro termo; - q é a razão; - n é o número de termos. No caso da questão, temos que a soma dos termos é igual a: 1 + 1/2 + ... + 1/2m Que é uma progressão geométrica de razão 1/2. Portanto, podemos escrever: S = 1/(1 - 1/2) - 1 S = 2 - 1 S = 1 Agora, precisamos calcular o valor de m para que a expressão dada seja igual a 1. Substituindo os valores na expressão, temos: 9/(1).(2m5. 3. 1. m!. .2(2m)!m) = 1 Simplificando, temos: 9/(2m5. 3. m!. .2(2m)!m) = 1 Multiplicando ambos os lados por 2m5. 3. m!. .2(2m)!m, temos: 9 = 2m5. 3. m!. .2(2m)!m Dividindo ambos os lados por 2m5. 3. m!. , temos: 9 / (2m5. 3. m!. ) = 2(2m)!m Simplificando, temos: 9 / (2m5. m!. ) = (2m)!m Multiplicando ambos os lados por (2m5. m!. ), temos: 9 = (2m)!m . (2m5. m!. ) Expandindo o fatorial, temos: 9 = (2m).(2m-1).(2m-2)...(m+1).m.(m-1).(m-2)...1 . (2m5. m!. ) Simplificando, temos: 9 = (2m).(2m-1).(2m-2)...(m+1).m.(m-1).(m-2)...1 . (2m5. m!. ) 9 = (2m).(2m-1).(2m-2)...(m+1).m!(2m5) 9 = (2m).(2m-1).(2m-2)...(m+1).m!(2m5) 9 = (2m)!(2m5) 9 = (2m).(2m+1).(2m+2)...(4m+1) Agora, podemos testar os valores de m até encontrar um que satisfaça a equação. Começando com m = 1, temos: (2).(3).(4).(5) = 120 Que não é igual a 9. Testando com m = 2, temos: (4).(5).(6).(7).(8).(9).(10) = 7257600 Que também não é igual a 9. Testando com m = 3, temos: (6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).(15) = 2027418340147200 Que também não é igual a 9. Portanto, não existe um valor inteiro de m que satisfaça a equação dada.