Seja f: IR ë IR a função definida por: ýf(x) = x£ - 1, se x < 1 þ ÿf(x) = - x£ + 2x, se x 1. a) Determine o domínio de f. b) Determine a ima...

a) O domínio de f é o conjunto de todos os números reais, ou seja, Df = R. b) Para determinar a imagem de f, precisamos analisar o comportamento da função em cada intervalo. Quando x < 1, temos que f(x) = x² - 1, que é uma parábola com concavidade para cima e vértice em (-1, -1). Portanto, a imagem de f nesse intervalo é [ -1, +∞ ). Quando x ≥ 1, temos que f(x) = -x² + 2x, que é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (1, 1). Portanto, a imagem de f nesse intervalo é [ -∞, 1 ]. Assim, a imagem de f é o conjunto de todos os números reais, ou seja, Imf = R. c) Para encontrar os zeros de f, precisamos resolver a equação f(x) = 0. Temos: x² - 1 = 0, se x < 1 -x² + 2x = 0, se x ≥ 1 Resolvendo a primeira equação, obtemos x = -1 ou x = 1. Como x < 1, a única solução válida é x = -1. Resolvendo a segunda equação, obtemos x = 0 ou x = 2. Como x ≥ 1, a única solução válida é x = 2. Portanto, os zeros de f são x = -1 e x = 2. d) Para esboçar o gráfico de f, podemos usar as informações obtidas nos itens anteriores. O gráfico de f é uma parábola com concavidade para cima no intervalo (-∞, 1) e com concavidade para baixo no intervalo [1, +∞). O vértice da primeira parábola é (-1, -1) e o vértice da segunda parábola é (1, 1). Os zeros de f são -1 e 2. Podemos usar essas informações para esboçar o gráfico de f.