Sabe-se que a equação 2x¤+x£-6x-3=0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são a) irracionais e positivas. ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de D'Alembert, que afirma que se uma equação algébrica tem uma raiz racional p/q (onde p e q são primos entre si), então p é divisor do termo independente e q é divisor do coeficiente do termo de maior grau. No caso da equação 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, sabemos que ela tem uma única raiz racional e não inteira. Portanto, essa raiz deve ser da forma p/q, onde p é divisor de -3 e q é divisor de 2. As possibilidades são: p = 1, q = 2 p = -1, q = 2 p = 3, q = 2 p = -3, q = 2 Testando cada uma dessas possibilidades, encontramos que a única raiz racional e não inteira é x = -3/2. Para encontrar as outras duas raízes, podemos utilizar a fórmula de Cardano: x = (u + v) - 1/3 onde u e v são as raízes da equação auxiliar: 4u³ + 27v² = 108 Resolvendo essa equação, encontramos as raízes: u = (3 + √33)/6 v = (3 - √33)/6 Substituindo esses valores na fórmula de Cardano, encontramos as outras duas raízes: x = (u + v) - 1/3 x = (-3 - √33)/6 x = (-3 + √33)/6 Portanto, as demais raízes da equação são irracionais e de sinais contrários. A alternativa correta é a letra b).