O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, é a) 5/3 b) 3/5 c) 4/5 d) 5/4 e) 3/4

Vamos começar resolvendo a equação 3.sen x + 4.cos x = 5 para encontrar os valores de sen x e cos x: 3.sen x + 4.cos x = 5 Dividindo tudo por 5: (3/5).sen x + (4/5).cos x = 1 Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado e usar a identidade trigonométrica cos² x + sen² x = 1: (cos² x + sen² x) [(3/5)² + (4/5)²] = 1 cos² x + sen² x = 1 [(3/5)² + (4/5)²] = 1 Substituindo o valor de cos² x + sen² x na equação cos x + sen x, temos: cos x + sen x = √(cos² x + sen² x) + √(2.cos x . sen x) cos x + sen x = √1 + √2.cos x . sen x Agora, vamos encontrar o valor de cos x . sen x usando a equação 3.sen x + 4.cos x = 5: 3.sen x + 4.cos x = 5 4.cos x = 5 - 3.sen x cos x = (5 - 3.sen x)/4 Substituindo o valor de cos x na equação cos x + sen x, temos: cos x + sen x = √1 + √2.(5 - 3.sen x)/4 . sen x cos x + sen x = √1 + (5√2/8) . sen x - (3√2/8) . sen² x Agora, vamos encontrar o valor de sen x que satisfaz a equação: cos x + sen x = √1 + (5√2/8) . sen x - (3√2/8) . sen² x sen² x - (16/5) . sen x + (9/25) = 0 (sen x - 9/20) . (sen x - 1/5) = 0 Portanto, sen x = 9/20 ou sen x = 1/5. Substituindo esses valores na equação cos x + sen x, temos: Para sen x = 9/20: cos x + sen x = √1 + (5√2/8) . (9/20) - (3√2/8) . (9/20)² cos x + sen x = 5/4 Para sen x = 1/5: cos x + sen x = √1 + (5√2/8) . (1/5) - (3√2/8) . (1/5)² cos x + sen x = 3/4 Portanto, a resposta correta é a letra E) 3/4.