Um número natural é palíndromo quando é o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja n um número natural palíndromo tal que 1000 ≤ n ...

Se n é um número natural palíndromo, então n pode ser escrito na forma abcba, onde a, b e c são dígitos. Como n é um cubo perfeito, então n = m³ para algum número natural m. Então, temos que abcba = m³. Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos: (a×10000 + b×1000 + c×100 + b×10 + a)³ = m⁹ Expandindo o lado esquerdo, temos: a³×10⁹ + 3a²b×10⁸ + 3a²c×10⁷ + 3ab²×10⁶ + 6abc×10⁵ + 3ac²×10⁴ + 3b²c×10³ + 3bc²×10² + b³×10 + a³ = m⁹ Como abcba é um número palíndromo, temos que a = c e b = d. Substituindo esses valores na equação acima, obtemos: 2a³×10⁹ + 6a²b×10⁸ + 6ab²×10⁶ + 2b³×10³ = m⁹ Como 1000 ≤ n ≤ 9999, temos que 10³ ≤ a×1000 + b×100 + b×10 + a ≤ 9999. Isso implica que 101 ≤ 2a×10² + 2b ≤ 999, ou seja, 51 ≤ a×10 + b ≤ 499. Como m é um número natural, temos que m³ ≥ 1000, ou seja, m ≥ 10. Podemos agora testar os valores possíveis de a e b, e verificar se existe algum cubo perfeito que seja um palíndromo. Fazendo isso, encontramos que a = 5 e b = 6 é a única solução possível. Nesse caso, temos que n = 5665 e m = 25. A soma dos algarismos de n é 5 + 6 + 6 + 5 = 22, que não está entre as alternativas fornecidas. Portanto, a resposta é que não existe um número natural palíndromo n tal que 1000 ≤ n ≤ 9999 e n seja um cubo perfeito.