Encontre a solução da equação diferencial homogênea, utilizando redução de ordem, sabendo que uma das soluções é  D²y/dx²+2 dy/dx-3y=0

Primeiramente, vamos encontrar a segunda solução da equação diferencial homogênea. Para isso, suponha que a segunda solução seja da forma v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada e y1(x) é a primeira solução conhecida. Substituindo y2(x) = v(x)y1(x) na equação diferencial, temos: D²(v(x)y1(x))/dx² + 2D(v(x)y1(x))/dx - 3v(x)y1(x) = 0 Aplicando a regra do produto e simplificando, temos: y1(x)[D²v(x)/dx² + 2Dv(x)/dx - 3v(x)] = 0 Como y1(x) é uma solução não nula, temos que: D²v(x)/dx² + 2Dv(x)/dx - 3v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, que pode ser resolvida utilizando o método da equação característica. A equação característica é: r² + 2r - 3 = 0 Resolvendo a equação, encontramos as raízes r1 = -3 e r2 = 1. Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(x) = c1e^(-3x) + c2e^(x) Onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.