Encontre a solução da equação diferencial homogênea, utilizando redução de ordem: \frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-3y=0

Primeiramente, vamos encontrar a solução da equação característica associada à equação diferencial homogênea: r^2 + 2r - 3 = 0 Podemos fatorar a equação: (r + 3)(r - 1) = 0 Logo, as raízes são r1 = -3 e r2 = 1. A solução geral da equação diferencial homogênea é dada por: y(x) = c1*e^(-3x) + c2*e^(x) Agora, vamos utilizar a técnica de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente. Suponha que a segunda solução seja da forma: y2(x) = v(x)*y1(x) Derivando y2(x), temos: y2'(x) = v'(x)*y1(x) + v(x)*y1'(x) Derivando novamente, temos: y2''(x) = v''(x)*y1(x) + 2*v'(x)*y1'(x) + v(x)*y1''(x) Substituindo y2(x), y2'(x) e y2''(x) na equação diferencial homogênea, temos: v''(x)*y1(x) + 2*v'(x)*y1'(x) + v(x)*y1''(x) + 2*(v'(x)*y1'(x) + v(x)*y1''(x)) - 3*(v(x)*y1(x)) = 0 Simplificando, temos: v''(x)*y1(x) + 2*v'(x)*y1'(x) = 0 Dividindo por y1(x)*v'(x), temos: \frac{v''(x)}{v'(x)} + 2\frac{y1'(x)}{y1(x)} = 0 Integrando ambos os lados, temos: ln|v'(x)| + 2ln|y1(x)| = ln|c| Simplificando, temos: v'(x)*y1(x)^2 = c Integrando ambos os lados, temos: v(x) = c1 + c2*\int\frac{1}{y1(x)^2}dx Substituindo y1(x) e integrando, temos: v(x) = c1 + c2*e^(3x) Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(x) = c1*e^(-3x) + c2*e^(x) Onde c1 e c2 são constantes arbitrarias.