Em quais condições sobre o escalar k, o conjunto {(1, 0, k), (1, 1, k), (1, 1, k2)} é L.I. em R3?

Para que o conjunto {(1, 0, k), (1, 1, k), (1, 1, k²)} seja L.I. em R³, é necessário que a única combinação linear que resulte no vetor nulo seja a combinação linear trivial, ou seja, quando todos os coeficientes forem iguais a zero. Podemos escrever a combinação linear dos vetores como: a(1, 0, k) + b(1, 1, k) + c(1, 1, k²) = (0, 0, 0) Isso nos leva ao seguinte sistema de equações: a + b + c = 0 b + c = 0 ak + bk + ck² = 0 A segunda equação nos dá b = -c. Substituindo em (1), temos a + (-c) + c = 0, o que nos leva a a = 0. Substituindo a = 0 e b = -c em (3), temos k²c - kc - kc = 0, o que nos leva a c(k² - 2k) = 0. Portanto, temos duas possibilidades: 1. c = 0: nesse caso, b = 0 e a = 0, o que significa que a combinação linear é trivial e o conjunto é L.I. 2. k = 2: nesse caso, temos c = -b e a = 0, o que significa que a combinação linear é não trivial e o conjunto é L.D. Portanto, o conjunto {(1, 0, k), (1, 1, k), (1, 1, k²)} é L.I. em R³ se e somente se k é diferente de 2.