O conjunto {1, x, x2, 2 + x + 2x2} é L.I. ou L.D. em P2(R)?

O conjunto {1, x, x², 2 + x + 2x²} é L.I. em P2(R). Para provar que o conjunto é L.I. (linearmente independente), precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Seja a1, a2, a3 e a4 escalares quaisquer tais que: a1 + a2x + a3x² + a4(2 + x + 2x²) = 0 Podemos reescrever a expressão acima como: a3x² + a2x + (a1 + 2a4) + a4x² = 0 Para que essa expressão seja verdadeira para todo x em R, os coeficientes correspondentes devem ser iguais a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações: a3 + a4 = 0 a2 = 0 a1 + 2a4 = 0 A solução desse sistema é a1 = a2 = a3 = a4 = 0, que é a combinação linear trivial. Portanto, o conjunto {1, x, x², 2 + x + 2x²} é L.I. em P2(R).