Em M(2, 2), considere o conjunto {A,B,C} com A = [1 1; 0 1], B = [1 −1; 1 0] e C = [2 0; 1 1]. Esse conjunto é L.I.?

Para verificar se o conjunto {A,B,C} é L.I. (linearmente independente), precisamos verificar se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Podemos escrever a combinação linear dos vetores A, B e C como: x1A + x2B + x3C = 0 Substituindo os valores dos vetores, temos: x1[1 1; 0 1] + x2[1 −1; 1 0] + x3[2 0; 1 1] = [0 0; 0 0] Simplificando a equação, temos: [(x1 + x2) + 2x3, x1 − x2 + x3; x2 + x3, x1 + x3] = [0 0; 0 0] Isso nos dá o seguinte sistema de equações: x1 + x2 + 2x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 x2 + x3 = 0 x1 + x3 = 0 Podemos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana: 1 1 2 | 0 1 -1 1 | 0 0 1 1 | 0 1 0 1 | 0 Subtraindo a primeira linha da quarta linha, temos: 1 1 2 | 0 1 -1 1 | 0 0 1 1 | 0 0 -1 -1 | 0 Subtraindo a segunda linha da primeira linha, temos: 0 2 1 | 0 1 -1 1 | 0 0 1 1 | 0 0 -1 -1 | 0 Subtraindo a segunda linha da quarta linha, temos: 0 2 1 | 0 1 -1 1 | 0 0 1 1 | 0 0 0 -2 | 0 Subtraindo a terceira linha da segunda linha, temos: 0 2 1 | 0 1 -2 0 | 0 0 1 1 | 0 0 0 -2 | 0 Subtraindo a terceira linha da primeira linha, temos: 0 1 0 | 0 1 -2 0 | 0 0 1 1 | 0 0 0 -2 | 0 Subtraindo a terceira linha da segunda linha, temos: 0 1 0 | 0 1 -3 0 | 0 0 1 1 | 0 0 0 -2 | 0 Subtraindo a terceira linha da primeira linha, temos: 0 0 0 | 0 1 -3 0 | 0 0 1 1 | 0 0 0 -2 | 0 A última linha nos dá x3 = 0, a terceira linha nos dá x2 = 0 e a segunda linha nos dá x1 = 0. Portanto, a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial, o que significa que o conjunto {A,B,C} é L.I.