58. Calcule: a) 4 c x dx xydy  , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0 , 0) a (1 , 0), de (1 ...

Para calcular a integral a) 4 c x dx xydy , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0 , 0) a (1 , 0), de (1 , 0) a (0 , 1) e de (0 , 1) a (0 , 0), podemos utilizar a ordem de integração dydx. Assim, temos: ∫(0 to 1) ∫(0 to 1-y) 4xy dx dy Integrando em relação a x, temos: ∫(0 to 1) [2x²y] de x=0 até x=1-y dy Substituindo os limites de integração e integrando em relação a y, temos: ∫(0 to 1) [2(1-y)²y] dy Resolvendo a integral, temos: ∫(0 to 1) [2y-4y²+2y³] dy = 1/2 Portanto, a resposta é 1/2. Para calcular a integral b) 2 3 c y dx xy dy , onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x² + y² = 1 e x² + y² = 4, podemos utilizar coordenadas polares. Assim, temos: ∫(0 to 2π) ∫(1 to 2) 2r³sinθ cosθ + 3r²sinθ dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∫(0 to 2π) [cos³θ sinθ/2 + 3cosθ sinθ/2] dθ = 0 Portanto, a resposta é 0.