Mostre que se os vetores −→u e −→v são vetores quaisquer, então <−→u,−→v>=1/4[‖−→u+−→v‖2−‖−→u−−→v‖2].

Para mostrar que <−→u,−→v>=1/4[‖−→u+−→v‖2−‖−→u−−→v‖2], podemos usar a definição do produto interno: <−→u,−→v> = ||−→u|| ||−→v|| cos θ Onde θ é o ângulo entre os vetores −→u e −→v. Podemos reescrever a expressão acima usando a lei dos cossenos: <−→u,−→v> = ||−→u|| ||−→v|| [cos² θ + sin² θ - 2 cos θ sin θ] <−→u,−→v> = ||−→u|| ||−→v|| [1 - 2 cos θ sin θ] Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sin 2θ = 2 sin θ cos θ para reescrever a expressão acima: <−→u,−→v> = ||−→u|| ||−→v|| [1 - (sin 2θ)/2] <−→u,−→v> = 1/4 [4 ||−→u|| ||−→v|| (2 - 2 cos 2θ)] <−→u,−→v> = 1/4 [‖−→u+−→v‖2−‖−→u−−→v‖2] Portanto, mostramos que <−→u,−→v>=1/4[‖−→u+−→v‖2−‖−→u−−→v‖2].