Mostrar que 1^2, 2^2,3^2,....n^2, m>2 , não formam um sistema completo de residuos?

Para mostrar que 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2, m > 2, não formam um sistema completo de resíduos, precisamos mostrar que há pelo menos dois números que têm o mesmo resto quando divididos por m. Vamos supor que existam dois números i e j, onde i < j, tais que i^2 e j^2 têm o mesmo resto quando divididos por m. Então, podemos escrever: j^2 - i^2 = (j + i) * (j - i) Como j e i têm o mesmo resto quando divididos por m, então j - i é divisível por m. Além disso, j + i é divisível por m, pois o resto de j^2 e i^2 é o mesmo quando dividido por m. Portanto, j^2 - i^2 é divisível por m^2. No entanto, j^2 - i^2 = (j + i) * (j - i) é menor que m^2, o que significa que (j + i) * (j - i) não pode ser igual a m^2. Portanto, não pode haver dois números diferentes i e j, onde i < j, que tenham o mesmo resto quando divididos por m. Concluímos que 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2, m > 2, não formam um sistema completo de resíduos.