Mostrar que os números 1^2,2^2,3^2,...,m^2 , não formam um sistema completo de residuos módulo m. Mostrar que eles não são dois a dois incongruentes?

Para mostrar que os números 1^2, 2^2, 3^2, ..., m^2 não formam um sistema completo de resíduos módulo m, basta notar que todos esses números são congruentes a 0, 1 ou 4 módulo 5. Portanto, se m for congruente a 2 ou 3 módulo 5, pelo menos um desses números será congruente a 0 módulo m, o que significa que não é possível obter todos os resíduos módulo m usando esses números. Para mostrar que eles não são dois a dois incongruentes, basta notar que (m-1)^2 é congruente a 1 módulo m, enquanto que 1^2 é congruente a 1 módulo m. Portanto, se m for ímpar, esses dois números serão congruentes módulo m, o que significa que eles não são dois a dois incongruentes.