Mostrar que 1^2,2^2, 3^2,.....n^2, m>2 ,não formam um sistema completo de residuos modulo m?

Para mostrar que 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2, m>2, não formam um sistema completo de resíduos módulo m, basta encontrar dois números diferentes, digamos a e b, tais que a^2 ≡ b^2 (mod m). Observe que (m-1)^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod m) e (-1)^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod m). Portanto, se m>2, então m-1 e -1 são dois números diferentes cujos quadrados são congruentes a 1 módulo m. Assim, temos que (m-1)^2 ≡ (-1)^2 ≡ 1 (mod m), o que mostra que 1^2, 2^2, 3^2, ..., (m-1)^2, (-1)^2 são números diferentes cujos quadrados são congruentes a 1 módulo m. Portanto, esses números não formam um sistema completo de resíduos módulo m.