(15) Prove que (v + w) · (v−w) = ||v||2−||w||2. (Ajuda: Lembre que ||w|| = √w ·w) Prove que (v + w) · (v−w) = ||v||2−||w||2. (Ajuda: Lembre que ||...

Vamos começar com o lado esquerdo da equação: (v + w) · (v - w) = v · v - v · w + w · v - w · w Observe que v · w = w · v, pois é o produto escalar de dois vetores, e o produto escalar é comutativo. Então, podemos reescrever a equação como: (v + w) · (v - w) = v · v - w · w Agora, vamos trabalhar no lado direito da equação: ||v||² - ||w||² = (v · v) - (w · w) Observe que ||w||² = w · w, pois a norma ao quadrado de um vetor é o produto escalar do vetor consigo mesmo. Substituindo na equação, temos: ||v||² - ||w||² = v · v - w · w Que é exatamente o mesmo que o lado esquerdo da equação. Portanto, provamos que (v + w) · (v - w) = ||v||² - ||w||².