Um fluido Newtoniano e incompressível está escoando na região anular entre dois tubos concêntricos em regime permanente e laminar, conforme mostra...

Para resolver esse problema, é necessário aplicar a equação de Navier-Stokes para um escoamento em regime permanente e laminar. A equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível é dada por: ρ(u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) Onde: - ρ é a densidade do fluido; - u, v e w são as componentes da velocidade do fluido nas direções x, y e z, respectivamente; - p é a pressão do fluido; - μ é a viscosidade dinâmica do fluido. Para um escoamento em regime permanente e laminar, as derivadas parciais em relação ao tempo são iguais a zero. Além disso, como o escoamento é concêntrico, a velocidade do fluido depende apenas da coordenada radial r. Portanto, a equação de Navier-Stokes pode ser simplificada para: ρv(dv/dr) = -dp/dr + μ(d²v/dr²) Integrando essa equação, temos: v = (1/4μ)(R² - r²)(dp/dr) Onde R é o raio externo do tubo e r é o raio interno do tubo. A condição de contorno para essa equação é que a velocidade do fluido é zero na parede do tubo interno (r = a) e na parede do tubo externo (r = b). Portanto, temos: v(a) = 0 e v(b) = 0 Usando essas condições de contorno, podemos determinar a constante de integração e obter a expressão para o perfil de velocidades do fluido: v = (dp/dx)(1/4μ)(R² - r²)(1/(b-a))(r² - a²) A tensão no tubo é dada pela lei de Newton da viscosidade: τ = μ(dv/dr) Substituindo a expressão para v, temos: τ = (dp/dx)(1/2)(R² - r²)(1/(b-a))(r/a) Essas são as expressões para o perfil de velocidades do fluido e de tensão no tubo.