8. Um fluido Newtoniano e incompressível está escoando na região anular entre dois tubos concêntricos em regime permanente e laminar, conforme most...

A equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e Newtoniano em coordenadas cilíndricas é dada por: ρ(∂v/∂t + v∂v/∂r + (v/r)∂v/∂θ + v∂v/∂z) = -∂p/∂r + μ(∂²v/∂r² + (1/r)∂v/∂r + (1/r²)∂²v/∂θ² + ∂²v/∂z²) Onde: - ρ é a densidade do fluido - v é a velocidade do fluido - p é a pressão do fluido - μ é a viscosidade dinâmica do fluido - r, θ e z são as coordenadas cilíndricas Considerando o escoamento na região anular entre dois tubos concêntricos, podemos assumir que o escoamento é simétrico em relação ao eixo z e que a velocidade do fluido é apenas uma função de r, ou seja, v = v(r). Assim, a equação de Navier-Stokes pode ser simplificada para: (1/r)(∂/∂r)(rμ(∂v/∂r)) = -∂p/∂r Integrando essa equação, temos: μ(∂v/∂r) = -∆p/2L + C1/r Onde: - ∆p é a diferença de pressão entre as extremidades do tubo - L é o comprimento do tubo - C1 é uma constante de integração Aplicando a condição de que a velocidade do fluido é zero na parede interna do tubo (r = R1) e na parede externa do tubo (r = R2), temos: C1 = (∆p/2L)(R2² - R1²) Assim, a expressão para o perfil de velocidades do fluido é dada por: v(r) = (∆p/4μL)(R2² - R1²)(1 - (r²/R2²)) E a expressão para a tensão no tubo é dada por: τ(r) = μ(dv/dr) = (∆p/2L)(R2² - R1²)(r/R2²)