Utilizando a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial y(0) = 2 e y'(0) = 1 aplicado a equação diferencial y'' + y = sen(2t...

Primeiramente, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial: L{y'' + y} = L{sen(2t)} L{y''} + L{y} = L{sen(2t)} s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 2/(s^2 + 4) s^2 Y(s) - 2s - 1 + Y(s) = 2/(s^2 + 4) Y(s) = [2/(s^2 + 4) + 2s + 1]/(s^2 + 1) Agora, vamos encontrar a solução da equação diferencial utilizando a transformada inversa de Laplace: y(t) = L^-1{Y(s)} y(t) = L^-1{[2/(s^2 + 4) + 2s + 1]/(s^2 + 1)} y(t) = 2L^-1{1/(s^2 + 4)} + 2L^-1{s/(s^2 + 1)} + L^-1{1/(s^2 + 1)} y(t) = 2cos(2t) + 2cos(t) + sen(t) Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica para o problema de valor inicial: y(0) = 2cos(0) + 2cos(0) + sen(0) = 2 + 0 = 2 y'(0) = -4sen(0) - 2sen(0) + cos(0) = 0 + 0 + 1 = 1 Portanto, a solução correta é a letra c) y = 2cos(t) + (5/3)sen(t) - (1/3)sen(2t).