Verifique se os homomorfismos do exercício 2 são monomorfismos, epimorfismos ou isomorfismos. Para aqueles que forem isomorfismo, calcule 1f − . a...

Para verificar se um homomorfismo é um monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo, precisamos analisar as propriedades do homomorfismo em questão. a) É monomorfismo e epimorfismo. Não é isomorfismo. Se um homomorfismo é um monomorfismo, isso significa que ele é injetivo, ou seja, se f(x) = f(y), então x = y. Se um homomorfismo é um epimorfismo, isso significa que ele é sobrejetivo, ou seja, para cada elemento y no contradomínio, existe pelo menos um elemento x no domínio tal que f(x) = y. Neste caso, o homomorfismo é tanto injetivo quanto sobrejetivo, portanto é um isomorfismo. No entanto, a afirmação diz que não é um isomorfismo, o que está incorreto. b) É epimorfismo. Não é monomorfismo nem isomorfismo. Se um homomorfismo é um monomorfismo, isso significa que ele é injetivo, ou seja, se f(x) = f(y), então x = y. Se um homomorfismo é um epimorfismo, isso significa que ele é sobrejetivo, ou seja, para cada elemento y no contradomínio, existe pelo menos um elemento x no domínio tal que f(x) = y. Neste caso, o homomorfismo é sobrejetivo, mas não é injetivo, portanto não é um monomorfismo nem um isomorfismo. c) É isomorfismo. 1f − (x) = ln(x). Se um homomorfismo é um isomorfismo, isso significa que ele é tanto injetivo quanto sobrejetivo. Além disso, a função inversa também é um homomorfismo. Neste caso, a função é injetiva e sobrejetiva, portanto é um isomorfismo. Para calcular 1f − (x), precisamos encontrar a função inversa. Temos: y = f(x) = ln(x) x = e^y 1f − (x) = 1/ln(x) = 1/y = e^(-y) = e^(-f(x)) Portanto, 1f − (x) = e^(-f(x)). d) Não é homomorfismo. Se um homomorfismo não preserva a estrutura algébrica, ele não é um homomorfismo. e) É monomorfismo e epimorfismo. Não é isomorfismo. Se um homomorfismo é um monomorfismo, isso significa que ele é injetivo, ou seja, se f(x) = f(y), então x = y. Se um homomorfismo é um epimorfismo, isso significa que ele é sobrejetivo, ou seja, para cada elemento y no contradomínio, existe pelo menos um elemento x no domínio tal que f(x) = y. Neste caso, o homomorfismo é tanto injetivo quanto sobrejetivo, portanto é um monomorfismo e um epimorfismo, mas não é um isomorfismo. f) É epimorfismo. Não é monomorfismo nem isomorfismo. Se um homomorfismo é um monomorfismo, isso significa que ele é injetivo, ou seja, se f(x) = f(y), então x = y. Se um homomorfismo é um epimorfismo, isso significa que ele é sobrejetivo, ou seja, para cada elemento y no contradomínio, existe pelo menos um elemento x no domínio tal que f(x) = y. Neste caso, o homomorfismo é sobrejetivo, mas não é injetivo, portanto não é um monomorfismo nem um isomorfismo.