a) (2,5) Determinar os valores de x ∈ R para os quais a série de potências
∞∑n=13n−2(n+1)22n+1(x−2)n
é convergente.
b) (1,5) Estudar a convergê...

Question

a) (2,5) Determinar os valores de x ∈ R para os quais a série de potências
∞∑n=13n−2(n+1)22n+1(x−2)n
é convergente.
b) (1,5) Estudar a convergência em termos de α > 0:
∞∑n=31/n(lnn)(ln(lnn))α
a) Determinar os valores de x ∈ R para os quais a série de potências ∞∑n=13n−2(n+1)22n+1(x−2)n é convergente.
b) Estudar a convergência em termos de α > 0: ∞∑n=31/n(lnn)(ln(lnn))α
a) Aplicando o critério da razão, temos:
b) Para analisar a convergência da série, utilizamos o critério da integral, com f(x) = 1/x(lnx)(ln(lnx))α.

Ed · Answer

a) Para determinar os valores de x em que a série de potências é convergente, podemos utilizar o critério da razão. Temos:

|a_{n+1}/a_n| = [(3(n+1)-2)/((n+1)+1)] * [2n+1/(3n-2)] * |x-2|

Tomando o limite quando n tende ao infinito, obtemos:

lim [(3(n+1)-2)/((n+1)+1)] * [2n+1/(3n-2)] * |x-2| = 3/2 * |x-2|

Portanto, a série converge se 3/2 * |x-2|  0, podemos utilizar o critério da integral. Temos:

∫[3,∞] 1/x(lnx)(ln(lnx))α dx

Fazendo a substituição u = ln(lnx), temos:

∫[ln(ln3),∞] e^udu/(lnu)^α

Se α > 1, a integral converge, pois a função integranda é majorada por e^u. Se α ≤ 1, a integral diverge, pois a função integranda é minorada por 1/u. Portanto, a série converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1.

a) (2,5) Determinar os valores de x ∈ R para os quais a série de potências ∞∑n=13n−2(n+1)22n+1(x−2)n é convergente. b) (1,5) Estudar a convergê...

Cálculo I

Outros

Essa pergunta também está no material:

Provas De Cálculo Diferencial E Integral (12)

Provas De Cálculo Diferencial E Integral (12)

Cálculo Diferencial e Integral I e II • Universidade Estácio de Sá - EADUniversidade Estácio de Sá - EAD

Respostas

Responda

Mais conteúdos dessa disciplina