Seja a equação diferencial y ′′ + 2 y ′ − 3 = 0 . Sabe-se que as funções y = e x p ( x ) e y = e x p ( − 3 x ) são soluções da equação dada. D...

Primeiramente, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea associada: y'' + 2y' - 3 = 0 A equação característica é dada por: r² + 2r - 3 = 0 (r + 3)(r - 1) = 0 r1 = -3 e r2 = 1 Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(t) = c1 * e^(-3t) + c2 * e^(t) Agora, vamos encontrar os valores de c1 e c2 utilizando as soluções dadas: y1(t) = e^(t) y2(t) = e^(-3t) y(0) = 2 y(0) = c1 + c2 = 2 y'(t) = c1 * (-3) * e^(-3t) + c2 * e^(t) y'(1) = e^(-3) y'(1) = c1 * (-3) * e^(-3) + c2 * e = e^(-3) Substituindo y(0) na equação acima, temos: c1 = 2 - c2 Substituindo c1 na segunda equação, temos: (2 - c2) * (-3) * e^(-3) + c2 * e = e^(-3) -6c2 * e^(-3) = -4e^(-3) c2 = 2/3 Portanto, c1 = 4/3 Assim, a solução da equação diferencial que atende às condições de contorno é: y(t) = (4/3) * e^(-3t) + (2/3) * e^(t)