Seja a equação diferencial y′′+2y′−3=0. Sabe-se que as funções y=exp(x) e y=exp(−3x) são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda...

Seja a equação diferencial y′′+2y′−3=0. Sabe-se que as funções y=exp(x) e y=exp(−3x) são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda à condição de contorno y(0)=2 e y′(1)=e−3e−3.

Equações Diferenciais Ordinárias

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Marcos Marcílio Mesquita de Souza

31/05/2023

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31.05.2023

Para encontrar uma solução que atenda às condições de contorno, podemos usar o método de combinação linear. Primeiro, encontramos a solução geral da equação diferencial homogênea y'' + 2y' - 3 = 0: Característica da equação: r² + 2r - 3 = 0 Fatorando: (r + 3)(r - 1) = 0 Logo, r1 = -3 e r2 = 1 Então, a solução geral é dada por yh = c1*exp(-3x) + c2*exp(x), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas. Agora, vamos usar as condições de contorno para encontrar os valores de c1 e c2. Temos: y(0) = 2 c1*exp(0*(-3)) + c2*exp(0*1) = 2 c1 + c2 = 2 y'(1) = e^(-3)*e^(-3) -3c1*exp(-3*1) + c2*exp(1*1) = e^(-3)*e^(-3) Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar c1 e c2: c1 = (2 - c2) -3(2 - c2)*exp(-3) + c2*exp(1) = e^(-6) Simplificando: -6exp(-3)c2 + 3exp(-3) + c2*exp(1) = e^(-6) c2*(-6exp(-3) + exp(1)) = e^(-6) - 3exp(-3) c2 = (e^(-6) - 3exp(-3))/(exp(1) - 6exp(-3)) c2 = 1 Então, c1 = 2 - c2 = 1 Portanto, a solução da equação diferencial y'' + 2y' - 3 = 0 que atende às condições de contorno y(0) = 2 e y'(1) = e^(-3)e^(-3) é dada por: y = yh + yp = c1*exp(-3x) + c2*exp(x) = exp(-3x) + exp(x)

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