05 - (2014 - EPE - Analista de Pesquisa Energética - Gás e Bioenergia) Seja f: R R uma função duas vezes diferenciável tal que: I ” f ''(x) = 2 ·...

Para encontrar o valor de f''(0), precisamos usar as informações fornecidas no enunciado. Pela condição I, temos que: I ” f ''(x) = 2 · cos(x) - x · sen(x) + 2 Integrando duas vezes, obtemos: I f''(x) dx = 2 · sen(x) + x · cos(x) + 2x + C1 I f'(x) dx = -2 · cos(x) + x · sen(x) + 2x²/2 + C1x + C2 I f(x) dx = -2 · sen(x) - x · cos(x) + 2x³/6 + C1x²/2 + C2x + C3 Usando a condição II, sabemos que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,2) tem equação y = 3x + 2. Isso significa que f(0) = 2 e f'(0) = 3. Substituindo essas informações na equação de f(x), obtemos: f(0) = -2 · sen(0) - 0 · cos(0) + 2 · 0³/6 + C1 · 0²/2 + C2 · 0 + C3 = 2 C3 = 2 f'(0) = -2 · cos(0) + 0 · sen(0) + 2 · 0²/2 + C1 · 0 + C2 = 3 C2 = 3 Substituindo C2 e C3 na equação de f(x), temos: f(x) = -2 · sen(x) - x · cos(x) + 2x³/6 + C1x²/2 + 3x + 2 Agora podemos encontrar f''(0) substituindo x = 0 na equação de I: f''(0) = 2 · cos(0) - 0 · sen(0) + 2 = 4 Portanto, a alternativa correta é a letra a) +2.