Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma das medidas p e q dos segmentos determinados por ela sobre os eixos seja igual ao produto dess...

Para provar que a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano, precisamos mostrar que a interseção da reta com os eixos x e y é constante. Começamos com a equação segmentária da reta: x/p + y/q = 1. Podemos reescrevê-la como y = -qx/p + q, ou seja, a reta tem coeficiente angular -q/p e intercepto y q. Para encontrar a interseção da reta com o eixo x, fazemos y = 0 e obtemos x = p. Para encontrar a interseção da reta com o eixo y, fazemos x = 0 e obtemos y = q. Assim, a interseção da reta com os eixos x e y é dada pelos pontos (p, 0) e (0, q), respectivamente. Agora, precisamos mostrar que a soma das medidas p e q dos segmentos determinados pela reta sobre os eixos é igual ao produto dessas medidas. Temos: p + q = (p - 0) + (0 - q) = -q/p * p + q/p * q = q/p * (q - p) Assim, precisamos mostrar que q/p * (q - p) = pq. Isso é equivalente a mostrar que q^2 - pq - p^2 = 0. Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara: q = [p ± sqrt(p^2 + 4pq)]/2 Como p e q são positivos, a única solução válida é q = (p + sqrt(p^2 + 4pq))/2. Isso significa que a reta passa pelo ponto fixo P = (p, q), onde q = (p + sqrt(p^2 + 4pq))/2. Portanto, a alternativa correta é a letra d) Todas as afirmativas são verdadeiras.