Na figura ao lado, OP é perpendicular a AB e as coordenadas dos pontos A, B e C são: A(x, 0); B(0, y); C(1, 2). a) Ache o comprimento , do segmento...

a) Para encontrar o comprimento do segmento AB em função de x, podemos utilizar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Primeiro, encontramos a equação da reta AB, que passa pelos pontos A(x, 0) e B(0, y). A equação da reta é dada por y = -x(y/x), ou seja, y = (-y/x)x. Substituindo o valor de y em função de x na equação, temos y = (-y/x)x, que pode ser reescrita como y^2 = x^2 + y^2. Portanto, a distância do ponto C(1, 2) à reta AB é dada por d = |y - 2x/(y/x + 1)|. Substituindo o valor de y em função de x, temos d = |(x^2 + 4)/(2x/x + 1)|. Simplificando, temos d = |(x^2 + 4)/(2x + 1)|. Portanto, o comprimento do segmento AB em função de x é dado por AB = 2d = 2|(x^2 + 4)/(2x + 1)|. b) Para x >= 2, temos que a tangente do ângulo w entre OP e OC é dada por tg(w) = |(y - 2)/(x - 1)|. Substituindo os valores de x e y, temos tg(w) = |(2 - 2)/(2 - 1)| = 0. Para x < 2, temos que a tangente do ângulo w é dada por tg(w) = |(y - 2)/(x - 1)|. Substituindo os valores de x e y, temos tg(w) = |(2 - 2x)/(x - 1)|. Portanto, a tangente do ângulo w entre OP e OC é dada por tg(w) = |(2 - 2x)/(x - 1)| para x < 2.