Determine a derivada direcional Duf (x , y) se f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será Duf (1,2)? A...
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do produto escalar entre o vetor gradiente de f e o vetor unitário u.
O vetor gradiente de f é uma função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f.
O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x0, y0, z0) é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e são ortogonais ao gradiente ∇F(x0, y0, z0).
a) Todas as afirmativas estão corretas.
b) Apenas as afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.
c) Apenas as afirmativas 1, 3 e 4 estão corretas.
d) Apenas as afirmativas 2, 3 e 4 estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão incorretas.
💡 1 Resposta
Ed 
Primeiramente, vamos encontrar o vetor gradiente de f(x,y): grad(f) = (df/dx, df/dy) grad(f) = (3x^2 - 3y, -3x + 8y) Em seguida, vamos encontrar o vetor unitário u a partir do ângulo θ = π/6: u = (cos(π/6), sin(π/6)) u = (sqrt(3)/2, 1/2) Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor unitário: grad(f) . u = (3x^2 - 3y, -3x + 8y) . (sqrt(3)/2, 1/2) grad(f) . u = (3x^2 - 3y) * sqrt(3)/2 + (-3x + 8y) * 1/2 grad(f) . u = (3sqrt(3)x^2 - 3sqrt(3)y - 3x + 4y) / 2sqrt(3) Agora, vamos calcular a derivada direcional Duf(1,2): Duf(1,2) = grad(f) . u = (3sqrt(3) - 3 - 3 + 8) / 2sqrt(3) Duf(1,2) = (5sqrt(3) - 6) / 2sqrt(3) Duf(1,2) = (5 - 6/sqrt(3)) / 2 Portanto, a resposta correta é: D) Apenas as afirmativas 2, 3 e 4 estão corretas.
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