12. Numa P.G. estritamente decrescente, sabe-se que a1 + a10 = −513 e a4 · a7 = 512. Determine a razão dessa P.G.

Para resolver esse problema, podemos utilizar as fórmulas da soma e do produto dos termos de uma P.G.: Soma dos termos de uma P.G.: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) Produto dos termos de uma P.G.: Pn = a1^n * q^(n * (n - 1) / 2) Sabemos que a1 + a10 = -513 e que a4 * a7 = 512. Podemos utilizar essas informações para encontrar a razão q da P.G. a10 = a1 * q^9 a4 * a7 = a1^2 * q^21 Substituindo a10 na primeira equação, temos: a1 + a1 * q^9 = -513 a1 * (1 + q^9) = -513 Substituindo a4 * a7 na segunda equação, temos: a1^2 * q^21 = 512 a1 * q^10 = 8 Dividindo a segunda equação pela primeira, temos: q^10 / (1 + q^9) = -8 / 513 Multiplicando ambos os lados por (1 + q^9), temos: q^10 = -8 / 513 * (1 + q^9) q^10 = -8 / 513 - 8q^9 / 513 Substituindo q^10 na segunda equação, temos: a1 * (-8 / 513 - 8q^9 / 513) = 8 a1 = -1 / 9 Agora podemos encontrar a razão q: a10 = -1 / 9 * q^9 -513 = -1 / 9 * q^9 + (-1 / 9) q^9 = 512 q = 2 Portanto, a razão da P.G. é q = 2.