Prove, por indução em n, que 22n − 1 = 4n − 1 é divisível por 3, para todo n > 1. Para n = 2, temos 22^2 - 1 = 15, que é divisível por 3 Suponha q...

Prove, por indução em n, que 22n − 1 = 4n − 1 é divisível por 3, para todo n > 1.

Para n = 2, temos 22^2 - 1 = 15, que é divisível por 3
Suponha que 22k - 1 = 4k - 1 é divisível por 3
Para n = k + 1, temos 22(k+1) - 1 = 4(2k) - 1 = 8k + 3 = 3(2k+1) + (2k+1)
Logo, 22(k+1) - 1 é divisível por 3

Matemática

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Colégio Objetivo

Estudando com Questões

16/02/2024

Respostas

16.02.2024

A prova por indução está correta. Para n = 2, temos 22^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15, que é divisível por 3. Suponha que 22k - 1 = 4k - 1 é divisível por 3. Para n = k + 1, temos 22(k+1) - 1 = 4(2k) - 1 = 8k + 3 = 3(2k+1) + (2k+1). Logo, 22(k+1) - 1 é divisível por 3. Portanto, por indução, temos que 22n − 1 = 4n − 1 é divisível por 3, para todo n > 1.