Integração por frações parciais: a) ᶴ 1 ____dx X2 − 9x + 18 b) ᶴ 3x – 1__dx x 4 + ...

a) Para integrar a expressão 1/(x² - 9x + 18), primeiro precisamos fatorar o denominador: x² - 9x + 18 = (x - 3)(x - 6). Então, podemos escrever a expressão como: 1/(x² - 9x + 18) = A/(x - 3) + B/(x - 6) Para encontrar os valores de A e B, precisamos fazer o seguinte: 1 = A(x - 6) + B(x - 3) Agora, podemos substituir x = 3 e x = 6 para encontrar os valores de A e B: x = 3: 1 = A(0) + B(3 - 3) = 0 x = 6: 1 = A(6 - 6) + B(0) = 0 Como ambos os resultados são iguais a zero, não é possível encontrar valores para A e B. Portanto, a integral não pode ser resolvida por frações parciais. b) Para integrar a expressão (3x - 1)/(x^4 + x^2), primeiro precisamos fatorar o denominador: x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1). Então, podemos escrever a expressão como: (3x - 1)/(x^4 + x^2) = A/x + B/x^3 Para encontrar os valores de A e B, precisamos fazer o seguinte: 3x - 1 = A(x^2 + 1) + B(1) Agora, podemos substituir x = 0 e x = 1 para encontrar os valores de A e B: x = 0: -1 = A(1) + B(1) = A + B x = 1: 2 = A(2) + B(1) = 2A + B Resolvendo o sistema de equações, encontramos A = 3/2 e B = -1/2. Então, podemos integrar a expressão como: (3x - 1)/(x^4 + x^2) = 3/2x - 1/2x^3 + C c) Para integrar a expressão (8x^2 + x + 1)/(x^3 - 8), primeiro precisamos fatorar o denominador: x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Então, podemos escrever a expressão como: (8x^2 + x + 1)/(x^3 - 8) = A/(x - 2) + Bx/(x^2 + 2x + 4) Para encontrar os valores de A e B, precisamos fazer o seguinte: 8x^2 + x + 1 = A(x^2 + 2x + 4) + Bx(x - 2) Agora, podemos substituir x = 2 e x = -1 para encontrar os valores de A e B: x = 2: 45 = A(12) + B(4) = 12A + 4B x = -1: -6 = A(1) + B(-3) = A - 3B Resolvendo o sistema de equações, encontramos A = 3 e B = -4. Então, podemos integrar a expressão como: (8x^2 + x + 1)/(x^3 - 8) = 3/(x - 2) - 4x/(x^2 + 2x + 4) + C