Considere a equacao dy/dt = a - y^2. Encontre todos os pontos criticos da equacao. Note que nao existem pontos criticos se a < 0, existe um ponto c...

Para encontrar os pontos críticos da equação, precisamos igualar dy/dt a zero e resolver para y. Temos: dy/dt = a - y^2 = 0 y^2 = a y = +/- sqrt(a) Portanto, os pontos críticos são y = sqrt(a) e y = -sqrt(a). Para a reta de fase, podemos traçar o gráfico de y em função de t. Para isso, podemos usar o fato de que dy/dt é positivo quando y < -sqrt(a) e quando y > sqrt(a), e negativo quando -sqrt(a) < y < sqrt(a). Assim, podemos desenhar setas apontando para cima quando dy/dt é positivo e para baixo quando é negativo, e traçar as curvas y = sqrt(a) e y = -sqrt(a) para indicar os pontos críticos. Para determinar a estabilidade dos pontos críticos, podemos usar a segunda derivada de dy/dt em relação a y. Temos: d^2y/dt^2 = -2y Se d^2y/dt^2 é negativo em um ponto crítico, então o ponto é estável. Se é positivo, então é instável. Se é zero, então é semiestável. Assim, temos: - Para a < 0, não há pontos críticos. - Para a = 0, há um ponto crítico em y = 0, que é semiestável. - Para a > 0, há dois pontos críticos em y = sqrt(a) e y = -sqrt(a). Ambos são estáveis. O diagrama de bifurcação para a equação é uma curva que separa as regiões em que há diferentes números de pontos críticos. No caso da equação dy/dt = a - y^2, a bifurcação em a = 0 é chamada de bifurcação de sela-nó.