05. (UFRGS-RS) Os círculos desenhados na figura a seguir são tangentes dois a dois. A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar alguns conceitos de geometria e proporção. Vamos chamar o raio do círculo maior de R e o raio dos círculos menores de r. Podemos observar que a distância entre os centros dos círculos menores é igual a 2r, e a distância entre o centro do círculo maior e o centro de um dos círculos menores é igual a R - r. Podemos traçar um triângulo retângulo com catetos R - r e 2r, e hipotenusa R + r. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: (R - r)² + (2r)² = (R + r)² R² - 2Rr + r² + 4r² = R² + 2Rr + r² 6r² = 4Rr r/R = √3/2 A razão entre as áreas de dois círculos é igual à razão entre os quadrados de seus raios. Assim, a razão entre a área de um círculo menor e a área do círculo maior é: (r/R)² = (√3/2)² = 3/4 A área da região sombreada é igual à área do círculo maior menos a soma das áreas dos dois círculos menores. Assim, a razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é: 1/(1 + 2(3/4)) = 1/3 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1.