Um prisma reto de base hexagonal regular tem altura igual a 6 cm e área total igual a 180√3 cm². Qual é a medida da diagonal da base desse prisma? ...

A área total de um prisma é dada pela soma das áreas das bases e da área lateral. Como o prisma tem base hexagonal regular, cada face lateral é um paralelogramo com área igual ao produto da medida da aresta da base pela altura do prisma. Assim, temos que a área lateral é igual a 6 vezes a medida da aresta da base vezes a altura do prisma. Como a área total é igual a 180√3 cm² e a altura do prisma é 6 cm, temos: Área total = 2 x Área da base + Área lateral 180√3 = 2 x Área da base + 6 x Aresta da base x 6 180√3 = 2 x 3√3/2 x Aresta da base² + 36 x Aresta da base 180√3 = 9√3 x Aresta da base² + 36 x Aresta da base 20√3 = Aresta da base² + 4 x Aresta da base Podemos resolver essa equação do segundo grau para encontrar a medida da aresta da base: Aresta da base² + 4 x Aresta da base - 20√3 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, temos: Aresta da base = (-4 ± √196)/2 ou Aresta da base = 2√19 - 2 Como a medida da aresta da base é positiva, temos: Aresta da base = 2√19 - 2 A diagonal da base é igual a duas vezes a medida da aresta da base. Portanto: Diagonal da base = 2 x (2√19 - 2) = 4√19 - 4 Assim, a alternativa correta é a letra E) 24 cm.