Considere as definições de função trigonométrica. Considere a função f , de R − 3 em R − 1 , definida por f ( x ) = x + 3 x − 3 . A função inversa de f , então, possui domínio R − 1 e contradomínio R − 3 e f − 1 ( x ) pode ser expressa por:

Question

Considere as definições de função trigonométrica. Considere a função  f , de  R − 3  em  R − 1 , definida por  f ( x ) = x + 3 x − 3 .  A função in...

Ed · Answer

Para encontrar a função inversa $ f^{-1}(x) $ da função $ f(x) = \frac{x + 3}{x - 3} $, siga os passos abaixo:

1. **Troque $ f(x) $ por $ y $**:
   $$
   y = \frac{x + 3}{x - 3}
   $$

2. **Troque $ x $ e $ y $**:
   $$
   x = \frac{y + 3}{y - 3}
   $$

3. **Resolva para $ y $**:
   - Multiplique ambos os lados por $ y - 3 $:
   $$
   x(y - 3) = y + 3
   $$
   - Expanda:
   $$
   xy - 3x = y + 3
   $$
   - Reorganize:
   $$
   xy - y = 3 + 3x
   $$
   - Fatorize $ y $:
   $$
   y(x - 1) = 3 + 3x
   $$
   - Isolando $ y $:
   $$
   y = \frac{3 + 3x}{x - 1}
   $$

4. **Portanto, a função inversa é**:
   $$
   f^{-1}(x) = \frac{3 + 3x}{x - 1}
   $$

Assim, a função inversa $ f^{-1}(x) $ pode ser expressa como $ \frac{3 + 3x}{x - 1} $.

Ed · Answer

Para encontrar a função inversa de f(x), devemos seguir os seguintes passos:

1. Trocar f(x) por y: y = x + 3/(x-3)
2. Trocar x por y: x = y + 3/(y-3)
3. Isolar y na equação:

x(y-3) = y(y-3) + 3
xy - 3x = y² - 3y + 3
y² - (3+x)y + 3x + 3 = 0

4. Aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar y:

y = [(3+x) ± √((3+x)² - 4.1.(3x+3))]/2.1

y = [(3+x) ± √(x² - 6x + 9)]/2

y = [(3+x) ± (x-3)]/2

y1 = x/2
y2 = (x-6)/2

5. Portanto, a função inversa de f(x) é:

f^-1(x) = x/2 ou f^-1(x) = (x-6)/2

Lembrando que o domínio da função inversa é R-1 e o contradomínio é R-3.

Matemática

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