Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral ∫ (x + 3 )/x2 + 6 x + 4 . Sabendo que g(0)=ln 2, determine g(1)

Para resolver esse problema, podemos utilizar a técnica de frações parciais. Primeiramente, precisamos fatorar o denominador da integral: x^2 + 6x + 4 = (x + 2)(x + 2) Agora, podemos escrever a integral como: ∫ (x + 3)/(x + 2)^2 dx Para encontrar as constantes A e B, podemos utilizar a decomposição em frações parciais: (x + 3)/(x + 2)^2 = A/(x + 2) + B/(x + 2)^2 Multiplicando ambos os lados por (x + 2)^2, temos: x + 3 = A(x + 2) + B Substituindo x = -2, obtemos: 1 = -2A + B Substituindo x = 1, obtemos: 4 = 3A + B Resolvendo esse sistema de equações, encontramos A = -1 e B = 5. Portanto, podemos escrever a integral como: ∫ (x + 3)/(x + 2)^2 dx = -∫ 1/(x + 2) dx + 5∫ 1/(x + 2)^2 dx Integrando, temos: -∫ 1/(x + 2) dx = -ln|x + 2| 5∫ 1/(x + 2)^2 dx = -5/(x + 2) Substituindo na expressão acima, temos: g(x) = -ln|x + 2| - 5/(x + 2) Para encontrar g(1), basta substituir x = 1: g(1) = -ln|1 + 2| - 5/(1 + 2) = -ln 3 - 5/3 Portanto, g(1) = -(ln 3 + 5/3).