matematica alto nivel (125)

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73. Se \( f(x) = e^{3x} \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) \( e^3 \) 
 b) \( 3e^2 \) 
 c) \( 3e^3 \) 
 d) \( e^2 \) 
 **Resposta:** c) \( 3e^3 \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{3x} \) em relação a \( x \) é \( 3e^{3x} \). Substituindo 
\( x = 1 \), temos \( f'(1) = 3e^{3 \cdot 1} = 3e^3 \). 
 
74. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( -\pi \) 
 d) \( \pi \) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(2x) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é \( -\frac{\cos(2x)}{2} \). 
Avaliando em \( \pi \) e \( 0 \), temos \( -\frac{\cos(2\pi)}{2} - (-\frac{\cos(0)}{2}) = -\frac{1}{2} 
- (-\frac{1}{2}) = 0 \). 
 
75. Se \( \tan(\theta) = \frac{24}{7} \), qual é o valor de \( \sec(\theta) \)? 
 a) \( \frac{7}{24} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{24} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{24^2 - 7^2}}{7} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{7^2 - 24^2}}{7} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{24} \) 
 **Explicação:** Por definição, \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \). Usando a 
identidade \( \tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta) \), podemos encontrar \( \cos(\theta) = 
\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{24}{7})^2}} \). Portanto, \( 
\sec(\theta) = \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{24} \). 
 
76. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2} \)? 
 a) 0