As quantidades complexas a = u + iv e b = x + iy tambem podem ser representadas como vetores ´ bidimensionais a = xˆu + yˆv, b = xˆx + yˆy. Mostre ...

Para mostrar que a * b = a · b + izˆ · a × b, onde a e b são vetores bidimensionais, podemos usar a definição de multiplicação de vetores complexos e as propriedades do produto vetorial. Primeiro, vamos escrever a e b como vetores bidimensionais: a = uˆx + vˆy b = xˆx + yˆy Aqui, u, v, x e y são números reais e ˆx e ˆy são vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente. Agora, podemos escrever a multiplicação de a e b como: a * b = (u + iv)(x + iy) = ux + iuy + ivx + i^2vy = (ux - vy) + i(uy + vx) Podemos ver que a * b é um vetor bidimensional com componentes (ux - vy) e (uy + vx). Agora, vamos calcular a · b e a × b: a · b = (uˆx + vˆy) · (xˆx + yˆy) = ux · xx + uy · yx + vx · xy + vy · yy = ux · xx + uy · yx + vx · xy + vy · yy a × b = (uˆx + vˆy) × (xˆx + yˆy) = (uˆx × xˆx) + (uˆx × yˆy) + (vˆy × xˆx) + (vˆy × yˆy) = 0 + (uˆy x xˆy) + (vˆx x yˆx) + 0 = (uy - vx)zˆ Aqui, zˆ é o vetor unitário perpendicular ao plano xy. Agora, podemos escrever a * b em termos de a · b e a × b: a * b = (ux - vy) + i(uy + vx) = (ux · xx + uy · yx + vx · xy + vy · yy) + i(uy - vx)zˆ = a · b + izˆ · a × b Portanto, mostramos que a * b = a · b + izˆ · a × b.