Calcule ∫ 1 0 ex2 dx, com erro En ≤ 10−2. Neste caso, f ′′(x) = (2 + 4x2).ex2 e K = 6.e.

Para calcular a integral ∫ 1 0 ex² dx com erro En ≤ 10⁻², podemos utilizar a Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(c).(x-a)²)/2! Onde c é um valor entre x e a. Nesse caso, temos: f(x) = ex² f(0) = e⁰ = 1 f'(x) = 2x.ex² f'(0) = 0 f''(x) = (2 + 4x²).ex² f''(c) = (2 + 4c²).ec² Substituindo na fórmula de Taylor: ex² = 1 + 0 + [(2 + 4c²).ec².(x-0)²]/2! ex² = 1 + [(2 + 4c²).ec².x²]/2 Para calcular o erro, precisamos encontrar um valor máximo para f''(c) no intervalo [0,1]. Como f''(x) é crescente no intervalo, podemos usar o valor de f''(1): f''(1) = (2 + 4.1²).e.1² = 18e Assim, temos: |En| ≤ (18e/2).(1-0)³/3! |En| ≤ 3e/20 Para garantir que o erro seja menor ou igual a 10⁻², precisamos ter: 3e/20 ≤ 10⁻² e ≤ 200/3 Portanto, podemos afirmar que a integral ∫ 1 0 ex² dx com erro En ≤ 10⁻² é aproximadamente igual a: 1 + [(2 + 4c²).ec².x²]/2, onde 0 ≤ c ≤ 1 e e ≤ 200/3.