O Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada e a divergência desse campo no interior da superfície. Para calcular o fluxo do campo ~F(x,y,z) = xz~i−2x ~j+3~k através do hemisfério x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, orientado para baixo, podemos aplicar o Teorema da Divergência da seguinte forma: 1. Encontrar a divergência do campo ~F~: div ~F~ = ∂(xz)/∂x + ∂(-2x)/∂y + ∂(3)/∂z div ~F~ = z - 0 + 0 div ~F~ = z 2. Calcular o fluxo do campo ~F~ através da superfície hemisférica: ∫∫S ~F~ · d ~S~ = ∭V div ~F~ dV Onde V é o volume delimitado pela superfície S. Como a superfície é um hemisfério, podemos utilizar coordenadas esféricas para facilitar o cálculo. Temos que: x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ A equação da superfície pode ser escrita como: r = 2 0 ≤ θ ≤ π/2 0 ≤ φ ≤ 2π Substituindo as coordenadas esféricas na expressão do campo ~F~, temos: ~F~ = (r sinθ cosφ)(r cosθ) i - 2(r sinθ sinφ) j + 3(r cosθ) k ~F~ = r2 sinθ cosφ cosθ i - 2r2 sinθ sinφ j + 3r cosθ k Calculando a divergência do campo ~F~ em coordenadas esféricas, temos: div ~F~ = (1/r2) ∂(r2 sinθ cosφ cosθ)/∂r + (1/(r sinθ)) ∂(-2r2 sinθ sinφ)/∂θ + (1/(r sinθ)) ∂(3r cosθ)/∂φ div ~F~ = 2 cosθ sinθ cosφ - 2 cosθ sinθ sinφ + 3 cosθ div ~F~ = 2 cosθ sinθ (cosφ - sinφ) + 3 cosθ div ~F~ = 2 cosθ sinθ (-sin(π/4)) + 3 cosθ div ~F~ = -cosθ + 3 cosθ div ~F~ = 2 cosθ Agora podemos calcular o fluxo do campo ~F~ através da superfície hemisférica: ∫∫S ~F~ · d ~S~ = ∭V div ~F~ dV ∫∫S ~F~ · d ~S~ = ∫0^{2π} ∫0^{π/2} ∫0^2 (2 cosθ) r2 sinθ dr dθ dφ ∫∫S ~F~ · d ~S~ = 2 ∫0^{2π} ∫0^{π/2} cosθ sinθ dθ dφ ∫0^2 r2 dr ∫∫S ~F~ · d ~S~ = 2 ∫0^{2π} ∫0^{π/2} cosθ sinθ dθ dφ [r3/3]_0^2 ∫∫S ~F~ · d ~S~ = 2 ∫0^{2π} ∫0^{π/2} cosθ sinθ dθ dφ (8/3) ∫∫S ~F~ · d ~S~ = 16π/3 Portanto, o fluxo do campo ~F(x,y,z) = xz~i−2x ~j+3~k através do hemisfério x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, orientado para baixo é igual a 16π/3.