Encontrar por intermédio da integração por partes a integral indefinida dada por x a. ½.e .(senx – cosx) + C. b. ½.e .(senx + cosx) + C. c. e .(se...

Para encontrar a integral indefinida de x por intermédio da integração por partes, é necessário escolher uma função u e sua derivada du, e outra função dv e sua integral v, de modo que a integral de x possa ser escrita como a integral de u.dv. Nesse caso, podemos escolher u = sen(x) e dv = e^cos(x)dx. Então, temos que du/dx = cos(x) e v = e^cos(x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^cos(x)sen(x)dx = e^cos(x)sen(x) - ∫ e^cos(x)cos(x)dx Agora, podemos escolher u = cos(x) e dv = e^cos(x)dx. Então, temos que du/dx = -sen(x) e v = e^cos(x). Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^cos(x)cos(x)dx = e^cos(x)cos(x) + ∫ e^cos(x)sen(x)dx Substituindo essa integral na primeira equação, temos: ∫ e^cos(x)sen(x)dx = e^cos(x)sen(x) - e^cos(x)cos(x) - ∫ e^cos(x)sen(x)dx Somando ∫ e^cos(x)sen(x)dx em ambos os lados, temos: 2∫ e^cos(x)sen(x)dx = e^cos(x)sen(x) - e^cos(x)cos(x) + C Dividindo por 2, temos: ∫ e^cos(x)sen(x)dx = 1/2 e^cos(x)(sen(x) - cos(x)) + C Portanto, a alternativa correta é a letra a) ½.e .(senx – cosx) + C.