Exercício 8 Mostre que x (t ) = t e −γt /2 é solução da equação do movimento do oscilador critica- mente amortecido. Ou seja, mostre que essa equaç...

Para mostrar que x(t) = te^(-γt/2) é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido, precisamos substituir a função na equação ẍ + γẋ + ω0^2x = 0 e verificar se ela satisfaz a equação. Começando pela primeira derivada de x(t), temos: x'(t) = e^(-γt/2) - (γt/2)e^(-γt/2) A segunda derivada de x(t) é: x''(t) = (γ^2/4)e^(-γt/2) - γe^(-γt/2) + (γt/2)e^(-γt/2) Substituindo x(t), x'(t) e x''(t) na equação do movimento, temos: (γ^2/4)e^(-γt/2) - γe^(-γt/2) + (γt/2)e^(-γt/2) + γ(e^(-γt/2) - (γt/2)e^(-γt/2)) + ω0^2(te^(-γt/2)) = 0 Simplificando a equação, temos: (γ^2/4 - γω0^2)e^(-γt/2) + (γ/2 - γ^2/4)t e^(-γt/2) = 0 Para que a equação seja satisfeita, o termo entre parênteses deve ser igual a zero. Portanto, temos: γ^2/4 - γω0^2 = 0 ω0 = γ/2 Assim, podemos concluir que x(t) = te^(-γt/2) é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido, desde que ω0 = γ/2.